2024/2025 1-DAV-112/20 Matematická analýza (2), 1-TEF-102/19 Matematika (2) - Diferenciálny a integrálny počet

Cieľom kurzu je oboznámiť študentov s ďalšími základnými pojmami matematickej analýzy - diferenciálny a integrálny počet viacerých premenných, diferenciálne rovnice, špeciálne funkcie. Dôraz je kladený na porozumenie týmto pojmom aj keď často bez úplne rigorózneho základu. Absolventi by mali mať schopnosť aplikovať matematické techniky na štúdium reálnych problémov. 

Vyučujúci

• Doc. Mgr. Richard Kollár, PhD., FMFI UK M234, kollar@fmph.uniba.sk

• Mgr. Sergei Dylda, FMFI UK

Čas výuky (všetko online, MS Teams)

• Prednášky, utorok 14:00 -15:30,  streda 10:40 - 12:10  (Richard Kollár)

• Cvičenia, štvrtok 11:30 - 13:00 (Sergei Dylda)

Učebnice

• K. A. Stroud - Engineering Mathematics, 7th edition, Palgrave MacMillan 2013 Kompletná učebnica (dostupná v knižnici FMFI UK).

• K. A. Stroud - Advanced Engineering Mathematics, 5th edition, Palgrave MacMillan 2011 Kompletná staršia verzia učebnice (4.diel)  (5. diel je dostupný v knižnici FMFI UK).

• S. Strogatz - Dynamical Systems and Chaos, CRC Press, 2000  Kompletná učebnica (dostupná v knižnici FMFI UK).

• R. Haberman - Applied Partial Differential Equations with Fourier Series, 4th edition, Pearson, 2003  Kompletná učebnica online  (dostupná aj v knižnici FMFI UK).

Online zdroje

• FMFI moodle

• Ďalšie príklady (additional questions) https://www.macmillanihe.com/companion/Stroud-Engineering-Mathematics-7e/resources-zone/

• Online personal tutor https://www.macmillanihe.com/companion/Stroud-Engineering-Mathematics-7e/personal-tutor/

• Ďalšie online zdroje: 

1. https://www.emathhelp.net/calculators/   (Calculus I, Calculus II, Calculus III)
2. https://www.symbolab.com/solver/calculus-calculator
3. https://www.integral-calculator.com
4. https://hypatiasys.com
5. https://www.wolframalpha.com

Hodnotenie

50% polsemestrálna písomka

50% záverečná skúška (2 časti)

Známkovanie

• A (90-100%), B (80-90%), C (70-80%), D (60-70%), E (50-60%), FX (0-50%).

Organizácia výuky

• Každý týždeň 2 x prednáška (2 x 90 min) - vysvetlenie teoretického konceptu menej formálne ako matematická analýza na iných odboroch FMFI UK, ukážka riešenia úloh, samostatné riešenie úloh študentami

• Každý týždeň 1 x cvičenia (90 min) - samostatné riešenie úloh študentami s konzultáciou s vyučujúcim

• Práca doma (180 - 360 min) -  samostatné riešenie úloh študentami, využívanie učebnice a online zdrojov

Sylaby a plán výučby

Cieľom kurzu je nadobudnúť základne matematické zručnosti potrebné pri ďalšom štúdiu. Prístup je menej rigorózny ako pri ostatných odboroch FMFI UK, dôraz je viac na porozumenie konceptom a prácu s nimi ako na ich teoretické základy. V zátvorkách je vždy uvedená príslušná sekcia učebnice. 

Prednášky a cvičenia  - predbežný plán, môže byť počas semestra modifikovaný v prípade potreby

1. Polárne súradnice. Prevody súradníc, kreselnie grafov, štandardné krivky, obsahy oblastí, objem rotačných tleies, dĺžky kriviek, povrchy rotačných telies. (Programme 23)

2. Parciálne derivácie I. Príklady a motivácia. Spôsob výpočtu. Vyššie derivácie, zmiešané derivácie. Lineárna aproximácia pomocou derivácií a geometrická interpretácia. Parametrická závislosť, vyjadrenie celkovej zmeny na parametri. Derivácie implicitných funkcií. Zmena premennej. Radiálne súradnice. (Programme 14-15)

3. Parciálne derivácie III.  Taylorova veta pre funkciu viacerých premenných. Maximum a minimum funkcie viacerých premenných, sedlový bod, viazané extrémy - Lagrangeova metóda. (Programme ADV 14)

4. Integrály viacerých premenných I (Plošný integrál v rovine). Výpočet plochy obĺžnika ako dvojný integrál. Dvojný a trojný integrál, geometrická a fyzikálna interpretácia, diferenciál. Jednoduché aplikácie na výpočet plochy a objemu. Prednáška: definícia dvojného a trojného integrálu. (Programme 24)

5. Integrály viacerých premenných II (Krivkový integrál I). Krivkový integrál prvého a druhého druhu. Vlasnosti krivkového integrál, integrál po uzavretej krivke. (Programme ADV 19, prvá časť)

6. Integrály viacerých premenných III (Krivkový integrál II). Úplný diferenciál. Greenova veta.  Prednáška: definícia krivkového integrálu, dôkaz niektorých vlastností krivkového integrálu.   (Programme ADV 19, druhá časť)

7. Integrály viacerých premenných IV (Plošný a objemový integrál). Motivácia a definícia. Výpočet plochy telesa. Súradnicové systémy v priestore, objemové prvky. Objemové integrály. Transformácie súradníc. (Programme ADV 20, prvá časť)

8. Základy algebry Vektory, determinanty, matice.  (Programme 4-6 - prvý diel učebnice)
   

9. Integrály viacerých premenných V. Súradnicové systémy v priestore, objemové prvky. Objemové integrály. Transformácie súradníc. (Programme ADV 20, prvá časť)

9. Vektorový diferenciálny počet I. Skalárny a vektorový súčin, trojné súčiny vektorov. Derivovanie vektorov, jednotkové normálové vektory, parciálne derivácie vektorov. (Programme ADV 22, prvá časť)

10. Vektorový diferenciálny počet II. Skalárne a vektorové polia, smerové derivácie a normálové vektory. Gradient, divergencia a rotácia. (Programme ADV 22, druhá časť)

11. Vektorový diferenciálny počet III. Krivkové integrály skalárnych a vektorových polí, objemové a povrchové integrály. Konzervatívne vektorové polia. (Programme ADV 23 - prvá časť)

12. Vektorový diferenciálny počet IV. Gaussova veta, Stoksova veta, Greenova veta. Aplikácie. Prednáška: Dôkaz Gaussovej a Greenovej vety. Nelineárne súradnicové systémy. Ortogonálne súranicové systémy (cylindrické súradnice).  Transformácie dĺžkových a objemových prvkov a operátorov grad, div a curl. (Programme ADV 23 - druhá časť, ADV 24)

13. Špeciálne funkcie I. Gamma funkcia a jej základné vlastnosti. Beta funkcia a jej základné vlastnosti. Vzťah medzi Gamma a Beta funkciou. Aplikácie. Funkcia erf a jej vlastnosti a využitie v štatistike. Prednáška: Dôkazy vlastností špeciálnych funkcií, výpočet integrálu erf cez reálne čísla.  Eliptické funkcie, motivácia a vlastnosti. (Programme ADV 21)

14. Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu I.  Motivácia, pojem diferenciálnej rovnice. Formulácia úlohy. Začiatočná podmienka.  Riešenie priamou integráciou. Riešenie metódou separácie premenných. Veta o existencii riešenia.  Prednáška: Dôkaz vety o existencii riešenia. (Programme 25 - prvý diel učebnice)

15. Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu II (Jednorozmerný dynamický systém). Aplikácie. Fázový diagram. Ekvilibrium a jeho stabilita. Integračné krivky. (Strogatz, kapitoly 2-4)

16. Obyčajné diferenciálne rovnice druhého rádu I. Motivácia. Práca s jednoduchými dvojrozmenými systémami, fázové diagramy.  (Strogatz, kapitoly 5-6)

17. Obyčajné diferenciálne rovnice druhého rádu II. Riešenie homogénnej úlohy, úloha vlastných hodnôt a vlastných vektorov. (Programme 26 - prvý diel, prvá časť)

18. Obyčajné diferenciálne rovnice druhého rádu III. Riešenie nehomogénnej úlohy. Okrajové úlohy. Riešenie úlohy rozvoja do radu. (Programme 26 - prvý diel druhá časť, Programme ADV 10)

19. Obyčanjné diferenciálne rovnice druhéh rádu IV. Rozvoj riešnia do radu, Frobéniova metóda, aplikácia - Besselove funkcie, Legendrove polynómy (Programme ADV 11, Programme ADV 12)

20. Fourierove rady I. Motivácia. Vlastnosti trigonometrických funkcií, harmonické kmity. Nesínusiodálne periodické funkcie. Integrály a ortogonalita sínusov. Fourierov rad. Výpočet Fourierovho radu. Prednáška: Dôkaz konveregencie Fourierovho radu. (Programme ADV 7)

21. Fourierove rady II. Gibbsov fenomén. Body nespojitosti. Zmena periódy. Párne a nepárne funkcie - sínusové a kosínusové rady. (Programme ADV 8)

22. Fourierova transformácia I  Komplexný Fourierov rad, Fourierova transformácia, Inverzná Fourierova transformácia, Transformácia základných funkcií (Programme ADV 9 - 1. časť)

23. Fourierova transformácia II Vlastnosti Fourierovej transformácie - linearita, frekvenčný posun, škálovanie času, derivovanie. Konvolučná veta, Fourierova kosínusová a sínusová transformácia (Programme ADV 9 - 2. časť)

• Cvičenia - Parciálne derviácie I
• Cvičenia - Polárne súradnice